Analysis by Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Stefan Hildebrandt (auth.)

By Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Stefan Hildebrandt (auth.)

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach artwork der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die research.

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H. a1 ::; ::; . . ::; b3 ::; b2 ::; bl . Sei A:= {al,a2, ... } die Menge der linken Randpunkte und B:= {b l ,b2, ... } die Menge der rechten Randpunkte. Die Mengen A und B sind nichtleer und beschrankt. Setze a := sup A und b:= inf B. 7 Absolutbetrag. Nullfolgen. Intervallschachtelungen 37 gilt, weil alle bm obere Schranken von A und alle an untere Schranken von B sind. h. a = b E In fUr jedes n EN. 1st nun c irgendeine reelle Zahl mit c E In fUr alle n E N, so folgt wegen a = sup A und b = inf B, daB a ~ c ~ b ist und daher a = b = c gilt.

Fur n E N und fUr jedes c E IR mit c 2:: 0 gibt es genau ein x E IR mit x 2:: 0, so daj1 xn = c ist. Beweis. Die Eindeutigkeit von x ergibt sich aus der Formel n Xl - Xn2 = (Xl - X2 )( Xln-l + Xln-2 X2 + Xln-3 X22 + ... + X2n-l) ahnlich wie in Teil (i) des Beweises von Satz 1, und eine geeignete Verallgemeinerung von Tei! (ii) jenes Beweises liefert die Existenz von x. Wir uberlassen es dem Leser als Ubungsaufgabe, dies im einzelnen auszufUhren. o Bemerkung 1. Der soeben betrachtete Beweis von Satz 1 ist ganz und gar nichtkonstruktiv', wei!

Wir versuchen, die Gleichung (3) iterativ zu losen, indem wir von einem beliebig gewahlten Ausgangswert Xo > 0 ausgehen und (4) (x 1 Xn := -2 n- 1 + _c_) fUr n E N Xn-l setzen. Mit c (5) fUr n = 0,1,2, ... folgt dann (6) Offenbar sind aIle Xn Xn = und 1 2" (Xn-l + an-I) an nE N. , positiv, und es gilt folglich (7) Xn-l -- = Xn Xn-l C C Xn = an fur nEN. 10 Satz von der monotonen Folge 53 Wegen (6) erhalten wir (8) fiirnEN, woraus sich Xn /x n +1 ~ 1 und (9) fiirnEN ergibt. Aus (7)-(9) bekommen wir (10) und schlieBlich liefern (6) und (10) die Abschatzung (11) IXn+1 - an+ll ::; 1 2 IXn - ani fiir n EN.

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