Algebren by Prof. Dr. Max Deuring (auth.)

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Example text

Un von AjP k6nnen nicht alle Produkte UiU 1 ' ••• , uiun in P liegen, aber auch nicht alle Spuren 5 (uiu,,) = 0 seinJ. 1st aber die Spur von d nicht gleich Null, so ist d ein separables Element. Hat A den Index m, so ist der Index von Ap(d) gleich m 1 = mj(P (d) : P). Dieses Verfahren ergibt nach endlich vielen Schritten eine separable Erweiterung Z = P (d, d1 , . . z. w. ALBERT [32J beweist, daB fur ein vollkommenes P mit Charakteristik p =+= 0 der Index einer Algebra mjP nicht durch p teilbar ist.

2. Verhalten einfacher Algebren bei Erweiterung des Grundkorpers. Struktur der direkten Produkte einfacher Algebren. P sei ein Korper. m,)S, ... bezeichnen Algebren mit Einselement uber P; A, B, . Schiefkorper, deren Zentren P umfassen, meist Divisionsalgebren. Wir betrachten direkte Produkte mA, )SA' .... Der Existenz der Eins wegen konnen wir m und A als Teilbereiche von mA ansehen. 1. Sat z 1. 8z das Zentrum von mA • Beweis. 8 z . 1st u 1 , ••• , u" eine Basis von m/p, so ist mA = ulA + ...

Galoissche Theorie. 1. 1}1 sei eine endliche algebraische Erweiterung des Korpers P, als Algebra angesehen. Wir untersuchen den EinfluB einer Erweiterung A des Grundkorpers P auf 1}1. Sat z 1. m:A ist dann und nur dann vollstiindig reduzibel - also direkte Summe von K orpern -, bei jeder Grundkorpererweiterung A, wenn m: separabel uber P ist. ) IV. Einfache Algebren. 38 Beweis. A sei so gewahlt, daB alle irreduziblen Darstellungen von Q{, und daher auch die von Q{A in A den Grad 1 haben - z. B.

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