Algebra [Lecture notes] by Eva Zerz

By Eva Zerz

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2 f¨ = C3 . F¨ ur n ≥ 4 sind die An nichtkommutativ. 9. 31 Sei f ∈ K[x] ein normiertes Polynom vom Grad n ≥ 2 mit Diskriminante d = 0. Dann ist f separabel und daher ist L|K eine Galois-Erweiterung, wobei L der Zerf¨allungsk¨orper von f ist. Die Galois-Gruppe G = Aut(L|K) k¨onnen wir als Untergruppe von Sn auffassen. Dann gilt: G ⊆ An ⇔ d ist ein Quadrat in K. Beweis: Sei δ = 1≤i

P−1 α ∈ L paarweise verschiedene Elemente von L und alle Nullstellen von f . Daher zerf¨allt auch f u ¨ber L und es gilt p−1 p (x − ζ i α). f =x −k = i=0 Betrachten wir die K¨orperkette K ⊆ K(ζ) ⊆ K(ζ, α) ⊆ L. Behauptung: K(ζ, α)|K ist Galois’sch mit aufl¨osbarer Galois-Gruppe. Das Polynom f zerf¨allt u ¨ber L := K(ζ, α) und wegen L = K(β, α) ist L der Zerf¨allungsk¨orper von f ∈ K[x]. Also ist L |K endlich, normal und (da char(K) = 0) separabel und somit Galois’sch. Aus der Galois-Theorie wissen wir, dass dann auch L |K(ζ) Galois’sch ist, und dass H := Aut(L |K(ζ)) eine Untergruppe von G := Aut(L |K) ist.

Per Annahme folgt U N/N = (U N/N ) . Betrachte den Epimorphismus φ : U → U N/N von oben. 1). Also haben wir U N/N = U N/N , was U = U impliziert. 3. 8 Seien G = G0 . . Gl = {e} und G = H0 . . Hλ = {e} zwei Kompositionsreihen der endlichen Gruppe G. Dann gilt l = λ und es gibt ein π ∈ Sl mit Gi /Gi+1 ∼ ur alle 0 ≤ i < l. = Hπ(i) /Hπ(i)+1 f¨ Beweis: Induktion u ur n = 1 ist nichts zu zeigen. Sei |G| = n > 1 ¨ber n = |G|: F¨ und sei die Aussage f¨ ur alle Gruppen der Ordnung m < n schon gezeigt.

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